현재 한글 스크립트 중인(번역중인) MIT 물리학 강의 물리2 15강

미르나래양이 예전에 MIT 물리학 강의를 번역중이라고 한 적이 있습니다. 당시 학기 중이라 많은 진도를 못 갔는 데, 이번에 겨울방학을 맞이하면서 다시 번역에 돌입했습니다. 겨울방학 동안 천천히 하다 보면 15강 강의를 마칠 듯 싶습니다. 세종과학고등학교에 입학한 지도 어언 1년이 다 되어 가네요. 이제는 세종과고 예비 2학년~ 시간이 참 빠르게도 지나갑니다.

http://www.snow.or.kr/lecture/basic_sciences/physics/1092.html

 물리 II: 전기와 자성 (Physics II: Electricity and Magnetism) 15강

암페어의 법칙과 솔레노이드 (Ampere‘s Law and Solenoids)

저번 시간에 비오-사바르의 법칙을 통해 우리는 칠판에 수직으로 들어가는 전류가 있으면 r의 거리에서 자기장이 생긴다는 것을 알게 되었습니다. 
원의 접선 방향으로 자기장이, 여기 B, 여기 B, 그리고 그 자기장의 세기가 u0(뮤 제로) 곱하기 I 나누기 2파이r이라는 것을 알게 되었습니다. 
당신이 이 원 주위를 걸어다니며 이 원을 dl로 잘게 자르면, 그리고 닫힌 경로의 적분을 계산하면- 그러니까 B 닷(스칼라곱) dl의 닫힌 경로 적분- 모든 곳에 B 닷(스칼라곱) dl을 하면, B랑 dl이 어느 곳에서든 같은 방향이므로 자명하게 이것은 B 곱하기 2파이r이란 것을 알 수 있습니다. 
하지만 이는 u0(뮤 제로)I와도 같습니다. 
여기 있는 dl은 저기 dl과 아무 상관도 없습니다. 
둘을 혼동하지 마십시오. 
저기 dl은 칠판에 수직으로 들어가는, 전류가 흐르는 도선의 작은 한 부분을 뜻합니다. 
여기 dl은 그저 이 선을 따라 걸었을 때의 dl입니다. 
어느 거리에서(r) 걸었는지는 상관이 없습니다. 
항상 이 값은 u0(뮤 제로) 곱하기 I가 됩니다. 
B는 항상 r에 반비례하므로 당연합니다. 
꼭 원 주위를 걸어야 u0(뮤 제로)I가 나오는 것이 아니라, 닫혀있기만 하면 이런 식으로 어떤 구부정한 길로 가도 된다는 것을 처음 깨달은 사람은 앙페르입니다. 
예를 들어 이런 길 말입니다. 
여기에 도선과 이 지점까지 이은 선과 수직인 B가 있고요, 여기 dl이 있습니다. 
그리고 닫힌 경로를 따라 돌면-원인 필요는 없습니다-B 내적 dl 하면 u0I 가 됩니다. 
이를 암페어 법칙이라고 부릅니다. 
I에는 자주 닫혀있다라는 말이 붙습니다. 
경로에 의해 닫혀있는 전류라는 말입니다. 
사실, 이것은 비오-사바르의 방식을 통해 쉽게 증명할 수 있습니다. 
이것은 거의 멕스웰의 3번째 방정식이라 할 수 있습니다. 
저흰 벌써 넷 중 둘을 했습니다. 
이것은 거의 세 번째 식입니다. 
나중에 수정할 것입니다. 
여기서 잘 정의되지 않은 부분은 닫쳐있다는 게 무슨 뜻이냐는 것입니다. 
그래서 지금 저는 이것을 명확하게 정의해보려고 합니다. 
제가 이렇게 굉장히 이상하게 생긴 닫힌 경로를 걸어가면, 이 닫힌 경로에 개곡면을 달아야합니다. 
이것은 의무적입니다. 
납작하게 만들어도 됩니다. 
자유롭게 선택하셔도 좋습니다. 
여기를 입구로 하는 비닐 봉지처럼 만들 수도 있습니다. 
손을 여기 넣을 수도, 저기에 넣을 수도 있습니다. 
모자처럼요. 
어떤 표면이던 상관없지만, 고리에게 표면을 만들어줘야 합니다. 
그래서 여기 당신이 걸어갈 어떤 경로가 있고, 이것은 열린 개곡면으로 충분히 괜찮습니다. 
납작할 수도 있고, 열려있을 수도 있습니다. 
그래서 모자 같습니다. 
이제 저는 닫힌 상태의 I가 무슨 의미인지 고유하게 정의할 수 있습니다. 
왜냐하면 이제 면을 뚫고 나가는 전류가 있으면 여기 면을 뚫고 나가기 때문입니다. 
이제 면을 뚫고 나가는 전류를 보게 되는 것입니다. 
그리고 이것은 고유하게 정의됩니다. 
그리고 하나 더 면을 뚫고 나가는 전류가 있으면, 이를 I2라고 할 수 있습니다. 
그러면, 시계방향으로 돌았을 때, 관습적으로 자기장과 전류 사이의 관계에 대해 오른나사법칙을 적용할 수 있습니다. 
이쪽에서 봤을 때 시계방향으로 들어가면 여기 있는 I1은 0보다 크고, I2는 0보다 작게 됩니다. 
하지만, 시계반대방향으로 가고자 하면-암페어 법칙은 당신이 어느 방향으로 돌아갈지 정해놓지 않으므로 이렇게 해도 무방합니다.-I1이 음의 값을 갖고 I2는 양의 값을 갖게 됩니다. 
이렇게 오른나사법칙을 따르겠습니다. 
그래서 당신이 지금 저에게 암페르의 법칙을 수정해 쓰는 호의를 베풀겠다면-책들에게는 별로 좋지 않겠죠, 모든 책들은 닫혀있다는 말을 사용하니까-이것을 관통이라 바꿨으면 좋겠습니다. 
이것은 고유하게 정의된 전류의 표면 관통입니다. 
하지만 고리로 인해 닫혀있는 전류는 잘 정의되어 있지 않습니다. 
왜냐하면 저희가 암페어 법칙을 적용하는 경우, 가능할 때 저희는 쉬운 원 주위 경로, 또는 직사각형, 그리고 고리에 어떤 표면을 장착하는지 거의 상관없기 때문에 납작한 면을 쓸 때도 있습니다. 
하지만 납작한 표면이 항상 쓸 수 있는 것은 아닙니다. 
그래서 방법은 다음과 같습니다. 
당신은 닫힌 고리를 선택합니다. 
어떤 고리도 가능합니다. 
뭐, 잘못된 고리를 선택하면 별로 도움되진 않을 것입니다. 
어떤 고리던 선택 가능합니다. 
그 다음에는 그 고리에 열린 표면을 붙입니다. 
그리고 I관통은 이제 표면을 관통하는 전류입니다, 이 관습에 의하면. 
그리고 회전의 방향은 당신의 선택으로부터 자유입니다. 
어떻게 경로를 지나는지는 당신 선택이지만, 그것은 오른나사법칙에 의해 곡선을 관통하는 전류의 부호를 결정합니다. 
그래서 저희는 처음으로 암페어의 법칙을 이용해서 전류가 흐르는 도선 속의 자기장을 계산할 수 있습니다. 
여기 반지름이 R인 전선이 있고, 제 쪽으로 다가오는 전류 I가 있습니다. 
전류는 전선 내부에 균일하게 흐른다고-전류밀도가 일정하다고- 가정합시다. 
그리고 저는 모든 곳에서 자기장을 알고 싶습니다. 
축대칭, 저는 전선 밖과 안 모두를 알고 싶습니다. 
일단 R보다 큰 반지름에 대해 살펴봅시다. 
여기 전선의 단면이 있습니다, 반지름은 R. 
전류I는 그 표면을 뚫고 갑니다. 
저는 이제 닫힌 경로를 골라야 합니다. 
축대칭이 적용되니까 자명하게도 저희는 원을 선택하는 것이 좋을 것입니다. 
반지름이 r인 원, 저희가 자기장의 세기가 대칭성에 의해 어디든 같다는 것을 확신할 수 있도록. 
전류가 저를 향해 다가오고 있으니-저는 어떤 방향으로 돌지 자유롭게 정할 수 있습니다-저는 자기장이 이 방향이라는 것을 압니다. 
그래서 그냥 이 방향으로 걸어가서 저의 dl들이 다 이 방향이도록 하는 것이 좋을 것 같습니다. 
꼭 그럴 필요는 없습니다. 
반대방향으로도 걸어갈 수 있지만, 시계반대방향으로 걸어가면 암페어의 법칙의 좌, 우변 값들이 모두 양수가 될 것입니다. 
저는 이제 저의 경로에 열린 면을 달아야 합니다. 
뭐, 이 칠판이 그 열린 표면이 되겠습니다. 
이제 암페어의 법칙을 적용하여 B 곱하기 2 파이 r 을 얻을 것입니다. 
왜냐하면 dl과 B는 같은 방향이므로 거의 자명한 적분이 됩니다. 
이것은 이제 u0 곱하기 (저의 표면을 뚫고 가는) I가 됩니다. 
고유하게 정의된 이 전선에서 저에게 다가오는 모든 전류는 저의 표면을 통과합니다. 
그래서 곱하기 I. 
그러므로, B는 u0 곱하기 I 나누기 2 파이 R. 
그리고 이것은 저번에 비오-사바르를 적용해 찾은 것과 같은 결과입니다. 
그러니까 이것을 보는 것은 놀랍지 않습니다. 
하지만 이제 저희는 전선 안의 자기장을 알아내는 방법이 있으니, 여기 다시 전선 단면이 있고 칠판에서 전류가 나올 때 R보다 짧은 반지름을 원합니다. 
당연히, 대칭 때문에 저의 닫힌 경로는 또다시 반지름r인 원이 되겠습니다. 
또 제가 장착한 표면은 또 평평한 것이고, 이렇게 갑니다. 
B 곱하기 2 파이 r 은 u0 곱하기... 
아, 이제 저는 조심해야합니다. 왜냐하면 이제 전체 전류 I가 제 표면을 통과하는 것이 아니라 I의 r제곱 나누기 R제곱인 일부만 통과하기 때문입니다. 
그게 전체 전류는 R만큼의 반지름을 가진 원으로 나오지만, 저는 r이 반지름인 원만을 갖고 있기 때문입니다. 
그래서 여기서 r 하나를 잃고 그래서 저희는 매우 다른 결과를 얻게 됩니다. 
이제 B는 u0 곱하기 I에 선형인 r 나누기 2 파이 R 제곱을 갖게 됩니다. 
그래서 이것은 r에 비례하고, 그에 반해 이것은 1/r에 비례합니다. 
그리고 이 공식에 r에 R을 대입하면, 그것은 전선 표면에서의 자기장이 되겠죠, 여기서 똑같은 결과를 찾을 수 있습니다. 
r은 R이 됩니다. 
r이 R되면, R하나 없어지고 같은 결과가 나옵니다. 
그래서 r에 대한 함수로 자기장을 나타내면 이렇게 나오겠습니다. 
여기는 r, 이건 R, 그리고 원들에 수직인 이게 자기장의 세기이겠습니다. 
여기는 직선이 되고, 여기부터는 1/r이 되고, 여기 최대값은 r에 R을 대입했을 때 얻은 값이겠습니다. 
이제 저는 당신들에게 저희가 암페르의 법칙을 통해, 솔레노이드라 불리는 것들의 자기장을 계산할 수 있게 되는데 가까워졌다는 것을 보여줄 수 있습니다. 
솔레노이드는 나선형으로 여러 개의 이어지는 고리형태로 전류가 흐릅니다. 
고리가 있으면, 칠판에서 나오는 전류 고리, 이 전류는 칠판 속으로 들어가고 이 것은 전류가 나오면(여기 원형의 전선이지만 단면만 그렸습니다.) 
저번 시간에 논했던대로 자기장이 여기서 시계방향, 저기서 반시계방향일 것이라고 여러분께 상기시켜 드리고 싶습니다. 
그 중간에서는, 기억하시나요?, 이랬습니다. 
그리고 그 사이에는 다음과 같았습니다. 
이것은 일종의 전류 흐르는 고리 부근의 전기장 분포입니다. 
하지만 이제는 여기에 다른 고리를 놓는다고 생각해봅시다, 전류는 또 칠판에서 나오고, 들어가는 것으로, 그리고 또 하나의 고리, 한 개 더, 이런 식으로 여러개. 
여러분은 이렇게 갈리는 자기력선들이 이제 어떻게 될 것 같습니까? 
자기력선들은 여기로 빨려들어갈 것입니다. 
여기 고리도 자기력선이 자신의 원 속을 지나기를 바랍니다. 
그리고 이 고리도. 
그래서 거의 균일한 자기장이 되기 시작합니다. 
그리고 더 촘촘하게 감아질 수록 더욱 균일해질 것입니다. 
여기 저는 이를 더 자세히 보여줄 슬라이드들을 갖고 있습니다. 
여기 여러분들의 책에 있는 그림이 있습니다. 
5번 나선형으로 감긴 것이 보입니다. 
왼쪽에서 보면, 전류는 시계방향으로 흐르고 있고, 그래서 자기장은 이쪽에서 저쪽 방향으로 갑니다. 
그리고 여기를 보면 자기장이 내부에서 거의 균일함을 볼 수 있고, 전류 고리들-솔레노이드- 바깥쪽에는 자기장이 매우 약합니다. 
그리고 이 고리들을 촘촘하게 감기 시작하면, 이런 형태가 나옵니다. 
솔레노이드 안쪽에는 거의 완벽하게 균일한 전기장, 솔레노이드 바깥쪽에는 매우 약한 자기장을 얻을 수 있습니다. 
이제 여러분과 함께 암페르의 법칙을 이용해서 이런 솔레노이드 내부의 전기장의 세기를 계산해보고 싶습니다. 
몇 가지 가정을 해야 할 것입니다. 
이것을 제 솔레노이드라 하고, 길이는 L, 전류I는 다음과 같이 흐르고, 왼쪽에서 봤을 때 시계방향으로 감겨있다고 합시다. 
여기서 자기장은 이 방향이라는 것을 알 수 있습니다. 
저는 솔레노이드 바깥쪽의 자기장이 대략0이라고 가정할 것입니다. 
조금 있다가 실험시연을 통해 이것이 꽤 괜찮은 근사라는 것을 보여드리겠습니다. 
그리고 이제 질문은 여기서 자기장이 얼마인가입니다. 
여기 N번 감겨있다고 가정합니다. 
이제 경로를 정해야 합니다. 
암페르의 법칙을 적용해야 합니다. 
저는 길을 정합니다. 
저의 경로 선택에 놀라실 수도 있습니다. 
이제 저의 진로입니다. 
직사각형입니다. 
솔레노이드 내부 이 변의 길이는 l입니다. 
저는 이것을 네 개의 서로 다른 길로 생각하겠습니다. 
1번, 2번, 3번, 4번. 
일단 2번을 봅시다. 
저희는 자기장이 대략 0이라 가정했으니, 여기서 돌 때, 여기의 기여는 0. 
자기장이 0이면, B 내적 dL의 적분도 0입니다, 이건 쉽습니다. 
하지만 1번과 3번을 보면 바깥쪽에는 매우 약한 자기장이 있고 안쪽의 자기장은 이 방향입니다. 
저렇게 걸어가면, dL은 이렇고, B는 이런 식이라서 90도를 이루므로 둘의 내적결과는 0입니다. 
고로, 저의 암페르 법칙에서의 닫힌고리 적분에 기여하는 유일한 경로는 4번입니다. 
이것은 B 곱하기 l(소문자 L)은-B는 일정하기 때문에, 일정하다고 가정했으니까-저는 이것을 소문자L에 대해 적분합니다. 
이제 저는 면을 정해야 합니다. 
그냥 칠판 같은 평면을 사용하는 것 어떻습니까? 
이제, 저 면을 뚫고지나가는 전류를 계산해야합니다. 
면을 뚫는 전류, 저는 몇 번이나 감긴 것이 표면을 뚫고 나오는지 알아야 합니다. 
 
 
-번역 중-